ریاضی دهم انسانی فصل دوم، دومین و آخرین فصل از بخش ریاضی کتاب ریاضی دهم انسانی است. این فصل از به ادامه مباحث معادله درجه دو، این بار به طور جامع‌تر در بخش تابع میپردازد. به دلیل اهمیت مباحث، این فصل به یکی از طولانی‌ترین فصل‌های کتاب تبدیل شده است.
ساختار این فصل متشکل از چهار درس است تا شما به طور کامل با توابع، رسم توابع، روابط بین آن‌ها، کاربرد و معادلات درجه دوم آشنا شوید. تا به اینجا حتما متوجه شده‌اید که راه به تسلط رسیدن در درس ریاضی، چیزی جز تکرار و تمرین زیاد نیست! پس در این مقاله با ما همراه باشید که به سرعت درسنامه فصل دوم را فرا بگیرید و به سراغ حل سوالات این فصل بروید.
در ادامه پس از توضیح کامل هر بخش، همراه آن مثال هایی متنوع آورده شده است تا به طور کامل این درس را یاد بگیرید و به آن مسلط شوید.
- درس اول – مفهوم تابع
- تعریف تابع
- روش های نمایش تابع
- تعداد توابع
- درس دوم – ضابطه جبری تابع
- مقدار تابع در یک نقطه
- دامنه و برد
- درس سوم – نمودار خطی تابع
- نوشتن معادله خط با دو نقطه
- رسم نمودار تابع خطی
- درس چهار – نمودار تابع درجه دو
شما میتوانید جهت استفاده آنلاین از کتاب درسی و برای دانلود کتاب ریاضی دهم انسانی، از فروشگاه سِت استفاده کنید.
درس اول – مفهوم تابع
به عبارت 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 را یک رابطه خطی میگویند که 𝑥 متغیر مستقل و 𝑦 متغیر وابسته است. به این معنا که با تغییر 𝑥 که متغیر است، 𝑦 نیز تغییر می‌کند. مختصات هر نقطه‌ای که در این معادله صدق کند روی خط قرار دارد.
به طور مثال رابطه 𝑦 = 3𝑥 + 2 را در نظربگیرید، نقاط (2,8), (1,5), (0,2) روی این خط قرار دارند. اکنون به مثال حل شده زیر توجه کنید:
زوج مرتب : اعداد و اشیا که به ترتیب خاصی در کنار هم قرار می‌گیرند، تشکیل زوج مرتب می دهند. به (𝑥, 𝑦) یک زوج مرتب میگویند که مولفه 𝑥 نشان دهنده طول نقطه و مولفه 𝑦 نشان دهنده عرض آن نقطه باشد.
نکته: ترتیب قرار گرفتن 𝑦, 𝑥 در زوج مرتب مهم است، اگر(𝑥, 𝑦) = (𝑧, 𝑤) باشد آنگاه 𝑥 = 𝑧 , 𝑦 = 𝑤 است و بالعکس. در ادامه بیشتر به کاربرد زوج مرتب میپردازیم.
تعریف تابع
یک رابطه از مجموعه 𝐴 به مجموعه 𝐵 را تابع گوییم هرگاه متناظر با هر عضو از مجموعه 𝐴 دقیقا یک عضو از مجموعه 𝐵 نظیر شود. روش‌های متنوعی برای نمایش توابع وجود دارد در اینجا 3 مورد از مهم‌ترین روش های نمایش تابع را بیان میکنیم:
1. نمودار پیکانی
اگر رابطه‌ای از مجموعه 𝐴 به 𝐵 را با پیکان نمایش دهیم از نمایش پیکانی استفاده کرده‌ایم در این روش از هر عضو 𝐴 دقیقا یک پیکان خارج میشود.
نکته مهم: اگر در مجموعه دوم عضوی باشد که عضوی از مجموعه اول به آن نظیر نشده باشد، نمودار همچنان تابع است و مشکلی ایجاد نمیکند (شکل 1)، اگر در مجموعه 𝐴 عضوی باشد که به هیچ عضو از مجموعه 𝐵 نظیر نشده باشد این نمودار پیکانی نیست (شکل 2،) اگر از یک عضو مجموعه 𝐴 دو پیکان به دو عضو مختلف مجموعه 𝐵 نظیر شود نمودار پیکانی تابع نیست.(شکل 3)
2. نمایش زوج مرتبی
همان طور که پیش تر گفتیم، نمایش دیگری از تابع به صورت زوج مرتب است. زمانی مجموعه ای از زوج مرتب ها تابع هستند، که مولفه اول تکراری نداشته باشند، اگر مولفه اول تکراری داشتیم باید مولفه دوم برابری داشته باشند تا زوج مرتب تابع بماند.
به عنوان مثال: مجموعه 𝐴 = {(2,3) , (3,3) , (4,3)} یک تابع است زیرا مولفه‌های اول تکراری ندارند ولی مجموعه 𝐵 = {(1,2), (2,5), (2,3)} تابع نیست زیرا دو عضو آن دارای مولفه اول تکراری هستند و زمانی که مولفه اول تکراری است باید مولفه دوم نیز یکسان باشد.
3. نمایش مختصاتی
اگر رابطه‌ای براساس 𝑥, 𝑦 را بر محور مختصات رسم کنیم، وقتی این رابطه تابع است که هیچ خطی موازی محور𝑦 ها نداشته باشیم که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند ، نمودار زیر (بخش بالایی) یک تابع است زیرا هر خط موازی محور 𝑦 نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع می‌کند.(اما بخش پایینی نمی‌تواند یک تابع باشد)
تعداد توابع
اگر مجموعه 𝐴 دارای 𝑚 عضو و مجموعه 𝐵 دارای 𝑛 عضو باشد، تعداد توابعی که از مجموعه 𝐴 به 𝐵 می‌توان بنویسیم m به توان n است
بیشتر بخوانید: ریاضی دهم انسانی فصل اول
درس دوم – ضابطه‌ی یک تابع جبری
گاهی اوقات رابطه بین 𝑦 , 𝑥 را به صورت ضابطه در نظر میگیریم. {(1,2), (2,4), (3,6)} یک زوج مرتب است که همواره مولفه دوم آن، 2 برابر مولفه اول است که ضابطه آن به صورت 𝑦 = 2𝑥 است.
هرگاه مینویسیم 𝑦 = 𝑓(𝑥) یعنی 𝑦 تابعی از 𝑥 است که 𝑥 مولفه آزاد یا مستقل و 𝑦 مولفه وابسته آن است.
به مثال های زیر با دقت توجه کنید:
مقدار تابع در یک نقطه
اگر ضابطه تابع 𝑓(𝑥) باشد برای آنکه مقدار 𝑥 = 𝑡 را بدست آوریم در ضابطه تابع به جای 𝑥 مقدار𝑡 را قرار میدهیم.
دامنه و برد توابع
تابع 𝑓(𝑥) را در نظر بگیرید. به مجموعه مقادیری که میتواند 𝑥 بگیرد را دامنه 𝑓 میگویند به عبارت دیگر مجموعه مقادیری که متغیر مستقل میتواند بگیرد را دامنه میگویند و با 𝐷 نمایش می‌دهند، و مجموعه مقادیری که 𝑓(𝑥) میتواند بگیرد را برد تابع میگویند به عبارت دیگر مجموعه مقادیری که متغیر وابسته میتواند بگیرد را برد تابع میگویند و آن را با R نمایش می‌دهد.
دامنه توابع پلکانی
مجموعه اعدادی که از پیکان خارج میشود را دامنه و مجموعه اعدادی که پیکان به آن وارد میشود را برد تابع میگویند.
بیشتر بخوانید: آموزش درس اول اقتصاد دهم انسانی
درس سوم – نمودار تابع خطی
توابع خطی که در این درس با آن سروکار داریم همان معادله خط است که در سال‌های قبل با آن آشنا شدیم، معادله خط یک معادله جبری است که به فرم استاندارد 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 است. 𝑎 در آن شیب خط و 𝑏 در آن عرض از مبدأ است، منظور عرض از مبدأ محل برخورد خط با محور𝑦 هاست.
برای محاسبه محل برخورد خط با محور 𝑥 ها باید در معادله خط به جای 𝑦 عدد صفر را قرار دهیم.
نوشتن معادله خط با داشتن دو نقطه
با داشتن دو نقطه (𝑥1, 𝑦1) , (𝑥2, 𝑦2) از خط می‌توان معادله آن خط را نوشت، ابتدا شیب خط را به دست می‌آوریم و سپس با جایگذاری یک نقطه از خط و شیب آن خط در معادله خط به فرم استاندارد 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 مقدار𝑏 را محاسبه میکنیم در نهایت با داشتن مقدار 𝑎, 𝑏 معادله خط را مینویسیم.
رسم نمودار تابع خطی
برای رسم نمودار تابع خطی کافی است مختصات دو نقطه از آن را داشته باشیم، میتوانیم در معادله به جای 𝑥 عدد قرار دهیم تا مقدار 𝑦 به دست اید.
بیشتر بخوانید: تمام نکات درس اول منطق دهم
درس چهارم – نمودار تابع درجه دو
این بخش از ریاضی انسانی دهم فصل دوم را میتوانیم ادامه فصل یک اما به طور تخصصی تر در حوزه نمودارهای معادله درجه دو بدانیم؛ در این مبحث مطالب زیر را میخوانیم:
- تشخیص علامت مؤلفه‌های سهمی
- تعیین جهت تعقر سهمی
- فرمول های جانبی معادله درجه
- رسم نمودار سهمی
- نقطه تقاطع سهمی با محورهای مختصات
- پیداکردن مقدار مینیمم و ماکسیمم یک رابطه
- کاربرد معادله ی درجه دوّم در حل مسائل سود
شما میتوانید برای مطالعه کامل درسنامه این بخش و حتی فصل های دیگر همراه با تمام نکات و مثال های آموزشی، از خلاصه نکات فصل دوم ریاضی دهم انسانی استفاده کنید.
جمع‌بندی
در این مقاله به آموزش کامل فصل دوم پرداختیم و با مثال های مناسب، یادگیری را کامل کردیم. یادتان باشد که این مبحث از مباحث بنیادین ریاضیات به شمار می‌رود و درک درست و فهمیدن کامل این فصل، زیر بنای آموزش ریاضی شما است. بنابراین به شما پیشنهاد میکنیم تا به تسلط کافی از معادلات درجه دو نرسیده‌اید، از آن گذر نکنید.
و همان طور که درابتدا گفتیم، شرط یادگیری و آموزش ریاضی حل تمرین و سوال است. ما در ست سوالات کامل، جامع و آموزنده ای را تهیه کرده ایم تا با حل و مطالعه نمونه سوال ریاضی دهم انسانی به درک عمیقی از این مبحث برسید.
